कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ और $g (x) = x - 2$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 3 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.7

$2 x - 3$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.9

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.2.11.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (2 x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.1.3

$- 3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.1.5

$- 2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.2

$- 3 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.4

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.2

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.3

$- 7 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.4

$6$ और $4$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ है.

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.3.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = 10$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.2.2

$- 4$ को $10$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.3

$16$ में से $40$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.4

$- 24$ को $- 1 (24)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.7

$24$ को $2^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.7.1

$24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

चरण 2.3.3.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

चरण 2.3.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.2.2

$- 4$ को $10$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.3

$16$ में से $40$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.4

$- 24$ को $- 1 (24)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.7

$24$ को $2^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.7.1

$24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

चरण 2.3.4.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

चरण 2.3.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 2 + i \sqrt{6}$

चरण 2.3.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.2.2

$- 4$ को $10$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.3

$16$ में से $40$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.4

$- 24$ को $- 1 (24)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.7

$24$ को $2^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.7.1

$24$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.3.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

चरण 2.3.5.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

चरण 2.3.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 2 - i \sqrt{6}$

चरण 2.3.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

चरण 4.1.2.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 5

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला