कैलकुलस उदाहरण

$f (x, y) = 3 x^{2} - 5 y^{2} - 30 x - 40 y + 16$

चरण 1

$f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x + 40 y - 16 = 0$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x + 40 y - 16$

चरण 2

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$f (x, y) - 3 x^{2} = - 5 y^{2} - 30 x - 40 y + 16$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5 y^{2}$ जोड़ें.

$f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} = - 30 x - 40 y + 16$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $30 x$ जोड़ें.

$f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x = - 40 y + 16$

चरण 2.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $40 y$ जोड़ें.

$f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x + 40 y = 16$

चरण 2.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x + 40 y - 16 = 0$

चरण 3

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $f (x, y) - 3 x^{2} + 5 y^{2} + 30 x + 40 y - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $f$ को गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [30 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $30 x$ का व्युत्पन्न $30 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.5.3

$30$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.6

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

चूंकि $x$ के संबंध में $40 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $40 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + 0 + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 3.6.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + 0 + 0$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30 + 0 + 0$

चरण 3.7.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30 + 0$

चरण 3.7.1.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$

चरण 3.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 6 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 30$

चरण 4

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 6 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 30$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [30]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.2.2

$f'' (x) = - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.2.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $\frac{1}{x}$ को गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$f x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$f$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (30)$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $30$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $30$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.4.2

$- 6 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 6 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

चरण 5

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 6 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 30 = 0$

चरण 6

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $f$ को गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.3.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.5

$\frac{d}{d x} [30 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

चूंकि $30$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $30 x$ का व्युत्पन्न $30 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.5.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.5.3

$30$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.6

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.6.1

चूंकि $x$ के संबंध में $40 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $40 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + 0 + \frac{d}{d x} [- 16]$

चरण 6.1.6.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 0 + 30 + 0 + 0$

चरण 6.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.7.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.7.1.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30 + 0 + 0$

चरण 6.1.7.1.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30 + 0$

चरण 6.1.7.1.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 6 x + 30$

चरण 6.1.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 30$

चरण 6.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 6 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 30$ है.

$- 6 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 30$

चरण 7

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 6 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 30 = 0$

चरण 8

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{d}{d x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$d x = 0$

चरण 8.2

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $d$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $d$ से विभाजित करें.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

चरण 8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

चरण 8.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{d}$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$0$ को $d$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 9

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 6 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$d$ को $0$ से गुणा करें.

$- 6 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

चरण 11.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 12

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 13