कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 e^{x} - e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 e^{x}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

चरण 1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$f' (x) = 8 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

चरण 1.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 8 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

चरण 1.1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

चरण 1.1.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 8 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

चरण 1.1.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 e^{x} - 2 e^{2 x}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 e^{x} - 2 e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 e^{x}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

चरण 1.2.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.2.3.2.2

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 1.2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 1.2.3.4

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

चरण 1.2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

चरण 1.2.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

चरण 1.2.3.7

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $8 e^{x} - 4 e^{2 x}$ है.

$8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = e^{x}$ . $e^{x}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$8 u - 4 u^{2} = 0$

चरण 2.2.3

$8 u - 4 u^{2}$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$8 u$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

चरण 2.2.3.2

$- 4 u^{2}$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

चरण 2.2.3.3

$4 u (2) + 4 u (- u)$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (2 - u) = 0$

चरण 2.2.4

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x}$ से बदलें.

$4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$2 - e^{x} = 0$

चरण 2.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$2 - e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 - e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - e^{x} = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $2 - e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- e^{x} = - 2$

चरण 2.5.2.2

$- e^{x} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$- e^{x} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.5.2.2.2.2

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{x} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$e^{x} = 2$

चरण 2.5.2.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

चरण 2.5.2.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (2)$

चरण 2.5.2.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

चरण 2.5.2.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (2)$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \ln (2)$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\ln (2)$ को $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\ln (2)$ से बदलें.

$f (\ln (2)) = 8 e^{\ln (2)} - e^{2 (\ln (2))}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (2)) = 8 \cdot 2 - e^{2 (\ln (2))}$

चरण 3.1.2.1.2

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{2 (\ln (2))}$

चरण 3.1.2.1.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 (\ln (2))$ को सरल करें.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{\ln (2^{2})}$

चरण 3.1.2.1.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (2)) = 16 - 2^{2}$

चरण 3.1.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\ln (2)) = 16 - 1 \cdot 4$

चरण 3.1.2.1.6

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f (\ln (2)) = 16 - 4$

चरण 3.1.2.2

$16$ में से $4$ घटाएं.

$f (\ln (2)) = 12$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $12$ है.

$12$

चरण 3.2

$\ln (2)$ को $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\ln (2), 12)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\ln (2), 12)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \ln (2)) \cup (\ln (2), \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \ln (2))$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.59314718$ से बदलें.

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{2 (0.59314718)}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $0.59314718$ से गुणा करें.

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$ है.

$8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

चरण 5.3

$0.59314718$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.37770663$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, \ln (2))$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, \ln (2))$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\ln (2), \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.79314718$ से बदलें.

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{2 (0.79314718)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $0.79314718$ से गुणा करें.

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$ है.

$8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

चरण 6.3

$0.79314718$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 1.85970944$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(\ln (2), \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(\ln (2), \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\ln (2), 12)$ है.

$(\ln (2), 12)$

चरण 8