कैलकुलस उदाहरण

$- \cos^{2} (x)$

चरण 1

$- \cos^{2} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 2.1.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

चरण 2.1.6.2

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

चरण 2.1.6.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f' (x) = \sin (2 x)$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\sin (2 x)$ है.

$\sin (2 x)$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\sin (2 x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (2 x) = 0$

चरण 3.2

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$2 x = \arcsin (0)$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 x = 0$

चरण 3.4

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 3.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 x = π - 0$

चरण 3.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 x = π + 0$

चरण 3.6.1.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$2 x = π$

चरण 3.6.2

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 3.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 3.6.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 3.7

$\sin (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 3.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.7.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 3.8

$\sin (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.9

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π n}{2}$ हैं.

$\frac{π n}{2}$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \sin (2 x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = - \cos^{2} (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π n}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

चरण 6.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

चरण 6.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

चरण 6.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\sin (π n - 2)$ है.

$\sin (π n - 2)$

चरण 6.3

$x = \frac{π n}{2} - 1$ पर व्युत्पन्न $\sin (π n - 2)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π n}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

चरण 7.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

चरण 7.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

चरण 7.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\sin (π n + 2)$ है.

$\sin (π n + 2)$

चरण 7.3

$x = \frac{π n}{2} + 1$ पर व्युत्पन्न $\sin (π n + 2)$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

चरण 9