कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

चरण 1

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{\frac{5}{3}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{5}{3}$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.6.2

$5$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.7

$\frac{5}{3}$ और $x^{\frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.8

$2$ और $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.2.9

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ है.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{4}{3}$ है.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

चरण 2.1.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 2.1.3.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.1.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.1.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

चरण 2.1.3.6.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

चरण 2.1.3.7

$\frac{4}{3}$ और $x^{\frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 2.1.3.8

$- 5$ और $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

चरण 2.1.3.9

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 2.1.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ है.

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

चरण 3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = 0, 8$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 8$ हैं.

$0, 8$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.5

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.6

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 6.2.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

चरण 6.2.2.8

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

चरण 6.2.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

चरण 6.2.2.9

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

चरण 6.2.2.10

$- 20$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$10$ और $20$ जोड़ें.

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

चरण 6.2.3.2

$30$ को $3$ से विभाजित करें.

$f' (- 1) = 10$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $10$ है.

$10$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $10$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 8)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 7.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ है.

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 7.3

$x = 4$ पर व्युत्पन्न $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 8)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 8)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(8, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 8.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ है.

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 8.3

$x = 9$ पर व्युत्पन्न $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(8, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(8, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 8), (8, \infty)$

चरण 10