कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 9 x^{3} + \frac{1}{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{3} + \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{3}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.2.3

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$27 x^{2} - x^{- 2}$

चरण 1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = 27 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $27 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $27$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $27 x^{2}$ का व्युत्पन्न $27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.2.3

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$54 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ है.

$54 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$54 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$54 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$54 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.4

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$54 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.6

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$54 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$54 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$54 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$54 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.10

$1$ में से $4$ घटाएं.

$54 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.11

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$54 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 2.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$54 x + 2 x^{- 3} + 0$

चरण 2.3.13

$2 x^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$54 x + 2 x^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$54 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

चरण 2.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 54 x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $54 x + \frac{2}{x^{3}}$ है.

$54 x + \frac{2}{x^{3}}$