कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 e^{x} - 1$ ; $[- 2, 4]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$2 e^{x} - 1 = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $2 e^{x} - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 e^{x} = 1$

चरण 1.2.2

$2 e^{x} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$2 e^{x} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 1.2.2.2.1.2

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{x} = \frac{1}{2}$

चरण 1.2.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

चरण 1.2.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

चरण 1.2.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

चरण 1.2.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

चरण 1.3

$\ln (\frac{1}{2})$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(\ln (\frac{1}{2}), 0)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 d x - \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 2 e^{x} - 1 d x$

चरण 3

$- 2$ और $\ln (\frac{1}{2})$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

चरण 3.2

$0$ में से $2 e^{x} - 1$ घटाएं.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x} - 1) d x$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x}) + 1 d x$

चरण 3.4

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{x} - - 1$

चरण 3.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} + 1 d x$

चरण 3.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

चरण 3.6

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

चरण 3.7

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

चरण 3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

चरण 3.9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$\ln (\frac{1}{2})$ पर और $- 2$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 ((e^{\ln (\frac{1}{2})}) - e^{- 2}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

चरण 3.9.2

$\ln (\frac{1}{2})$ पर और $- 2$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 (e^{\ln (\frac{1}{2})} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.9.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$- 2 (\frac{1}{2} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 (\frac{1}{2}) - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.4

$- 2 (- \frac{1}{e^{2}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.4.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 1 + 2 \frac{1}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.1.4.2

$2$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$- 1 + \frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

चरण 3.10.2

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1$

चरण 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x - \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 d x$

चरण 5

$\ln (\frac{1}{2})$ और $4$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\ln (\frac{1}{2})$ और $4$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

चरण 5.1.2

$0$ में से $2 e^{x} - 1$ घटाएं.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x} - 1) d x$

चरण 5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x}) + 1 d x$

चरण 5.1.4

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{x} - - 1$

चरण 5.1.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} + 1 d x$

चरण 5.1.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

चरण 5.1.6

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

चरण 5.1.7

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

चरण 5.1.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

चरण 5.1.9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.9.1

$4$ पर और $\ln (\frac{1}{2})$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

चरण 5.1.9.2

$4$ पर और $\ln (\frac{1}{2})$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$- 2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.9.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$- 2 (e^{4} - \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.10.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 e^{4} - 2 (- \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.10.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 2 e^{4} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.1.2.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 e^{4} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 e^{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 e^{4} - - 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{4} + 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.1.10.2

$1$ और $4$ जोड़ें.

$- 2 e^{4} + 5 - \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.2

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 - (0) d x$

चरण 5.3

$2 e^{x} - 1$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x$

चरण 5.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

चरण 5.5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

चरण 5.6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

चरण 5.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

चरण 5.8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$4$ पर और $\ln (\frac{1}{2})$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

चरण 5.8.2

$4$ पर और $\ln (\frac{1}{2})$ पर $- x$ का मान ज्ञात करें.

$2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.8.3.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 e^{4} + 2 (- \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.9.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.9.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.9.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 e^{4} - 1 - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 5.9.2

$- 1$ में से $4$ घटाएं.

$2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$

चरण 6

क्षेत्रफल $\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2 \cdot 2})$

चरण 6.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{4})$

चरण 6.3

$1$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{2}{e^{2}} + 2 e^{4} - 4 + \ln (\frac{1}{4})$

चरण 7