कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{e}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

चरण 1.2.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x, e + y = 0$

चरण 1.2.2.2

चूँकि $x, e$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग $1, 1$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग $x^{1}$ के लिए LCM पता करें.

चरण 1.2.2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

$1$ प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाएंं.

चरण 1.2.2.4

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 1.2.2.5

$1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$1 + y = 0$

चरण 1.2.2.6

$x^{1}$ का गुणनखंड $x$ ही है.

$x = x$

चरण 1.2.2.7

$x^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x + y = 0$

चरण 1.2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ के प्रत्येक पद को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ के प्रत्येक पद को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

चरण 1.2.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \frac{1}{e} x$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$\frac{1}{e}$ और $x$ को मिलाएं.

$1 = \frac{x}{e}$

चरण 1.2.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

समीकरण को $\frac{x}{e} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{e} = 1$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $e$ से गुणा करें.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

चरण 1.2.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1.1

$e$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

चरण 1.2.4.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = e \cdot 1$

चरण 1.2.4.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.2.1

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$x = e$

चरण 1.3

$e$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(e, 0)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

चरण 3

$1$ और $e$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

चरण 3.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\ln (| x |)]_{1}^{e}$ और $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ को मिलाएं.

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

चरण 3.6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$e$ पर और $1$ पर $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

चरण 3.6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.1

$e$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

चरण 3.6.2.2.2

$e$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

चरण 3.6.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

चरण 3.6.2.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

चरण 3.6.2.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$e$ लगभग $2.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

चरण 3.7.1.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

चरण 3.7.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.3.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

चरण 3.7.1.3.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

चरण 3.7.1.4

$0$ में से $\frac{1}{e}$ घटाएं.

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

चरण 3.7.1.5

$- - \frac{1}{e}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

चरण 3.7.1.5.2

$\frac{1}{e}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

चरण 3.7.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0 + \frac{1}{e}$

चरण 3.7.3

$0$ और $\frac{1}{e}$ जोड़ें.

$\frac{1}{e}$

चरण 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

चरण 5

$e$ और $e^{3}$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

चरण 5.2

$0$ में से $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ घटाएं.

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

चरण 5.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

चरण 5.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

चरण 5.6

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

चरण 5.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

चरण 5.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.1

$e^{3}$ पर और $e$ पर $\ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

चरण 5.8.1.2

$e^{3}$ पर और $e$ पर $\frac{1}{e} x$ का मान ज्ञात करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.3.1

$\frac{1}{e}$ और $e^{3}$ को मिलाएं.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.2

$e^{3}$ और $e$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.3.2.1

$e^{3}$ में से $e$ का गुणनखंड करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.3.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.2.2.4

$e^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

चरण 5.8.1.3.3

$e$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

चरण 5.8.1.3.4

$e$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

चरण 5.8.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

चरण 5.8.1.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

$e^{3}$ लगभग $20.08553692$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.2

$e$ लगभग $2.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.3

$e^{3}$ और $e$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.3.1

$e^{3}$ में से $e$ का गुणनखंड करें.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.3.2.4

$e^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.4

$2$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.7

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 + e^{2} - 1$

चरण 5.8.3.8

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$e^{2} - 3$

चरण 6