कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$6 = 0$

चरण 1.2.2

$6 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

चरण 3

$4$ और $8$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

चरण 3.2

$\frac{6}{8 x - 1}$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

चरण 3.3

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

चरण 3.4

मान लीजिए $u = 8 x - 1$ .फिर $d u = 8 d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

मान लें $u = 8 x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$8 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

चरण 3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.4.1.3.3

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 + 0$

चरण 3.4.1.4.2

$8$ और $0$ जोड़ें.

$8$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $u = 8 x - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

चरण 3.4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 32 - 1$

चरण 3.4.3.2

$32$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 31$

चरण 3.4.4

$x$ के लिए $u = 8 x - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

चरण 3.4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 64 - 1$

चरण 3.4.5.2

$64$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 63$

चरण 3.4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

चरण 3.4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

चरण 3.5.2

$8$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

चरण 3.6

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$\frac{1}{8}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

चरण 3.7.2

$6$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

चरण 3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

चरण 3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

चरण 3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

चरण 3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

चरण 3.9

$63$ पर और $31$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

चरण 3.10.2

$\frac{3}{4}$ और $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ को मिलाएं.

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

चरण 3.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $63$ के बीच की दूरी $63$ है.

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

चरण 3.11.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $31$ के बीच की दूरी $31$ है.

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

चरण 4

क्षेत्रफल $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (\frac{63}{31})$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{63}{31}$ पर लागू करें.

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

चरण 4.2.2

$63$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

चरण 4.2.3

$31$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

चरण 4.3

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ को $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

चरण 4.4

$\frac{1}{4}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ को सरल करें.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

चरण 4.5

उत्पाद नियम को $\frac{250047}{29791}$ पर लागू करें.

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

चरण 5