कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[0, 3]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

चरण 3.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

चरण 3.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 3.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

चरण 3.1.2.3

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} + 10 x$ है.

$3 x^{2} + 10 x$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(0, 3)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(0, 3)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(0, 3)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(0, 3)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[0, 3]$ पर निरंतर है और $(0, 3)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[0, 3]$ पर निरंतर है और $(0, 3)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[0, 3]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

चरण 7.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

चरण 7.2.1.3

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0$

चरण 7.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 8

अंतराल $[0, 3]$ से $f (b)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

चरण 8.2.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

चरण 8.2.1.3

$5$ को $9$ से गुणा करें.

$f (3) = 27 + 45$

चरण 8.2.2

$27$ और $45$ जोड़ें.

$f (3) = 72$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $72$ है.

$72$

चरण 9

$x$ के लिए $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

चरण 9.1.1.2

$72$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

चरण 9.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

चरण 9.1.2.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

चरण 9.1.3

$72$ को $3$ से विभाजित करें.

$3 x^{2} + 10 x = 24$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $24$ घटाएं.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

चरण 9.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 9.4

द्विघात सूत्र में $a = 3$ , $b = 10$ और $c = - 24$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.2.2

$- 12$ को $- 24$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.3

$100$ और $288$ जोड़ें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.4

$388$ को $2^{2} \cdot 97$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.4.1

$388$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

चरण 9.5.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.2.2

$- 12$ को $- 24$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.3

$100$ और $288$ जोड़ें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.4

$388$ को $2^{2} \cdot 97$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1.4.1

$388$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

चरण 9.6.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.6.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.6.5

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.6.6

$\sqrt{97}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

चरण 9.6.7

$- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

चरण 9.6.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.2.2

$- 12$ को $- 24$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.3

$100$ और $288$ जोड़ें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.4

$388$ को $2^{2} \cdot 97$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1.4.1

$388$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

चरण 9.7.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

चरण 9.7.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.7.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.7.5

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.7.6

$- \sqrt{97}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

चरण 9.7.7

$- 1 (5) - (\sqrt{97})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

चरण 9.7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

चरण 9.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

चरण 10

अंत बिंदुओं $a = 0$ और $b = 3$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 0$ और $b = 3$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 11

अंत बिंदुओं $a = 0$ और $b = 3$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 0$ और $b = 3$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 12