कैलकुलस उदाहरण

$e^{- x} \sin (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

चरण 1.1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

चरण 1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

चरण 1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

चरण 1.1.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

चरण 1.1.4.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

चरण 1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

चरण 1.1.4.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ है.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

चरण 2.2

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$e^{- x} \cos (x)$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

चरण 2.2.1.2

$- e^{- x} \sin (x)$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

चरण 2.2.1.3

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

चरण 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ को $- \sin (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

चरण 2.4

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{- x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$\cos (x) - \sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\cos (x) - \sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $\cos (x) - \sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.2

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.3

अलग-अलग भिन्न

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.5

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.6

अलग-अलग भिन्न

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 2.5.2.8

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

चरण 2.5.2.9

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$1 - \tan (x) = 0$

चरण 2.5.2.10

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \tan (x) = - 1$

चरण 2.5.2.11

$- \tan (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = 1$

चरण 2.5.2.12

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (1)$

चरण 2.5.2.13

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.13.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.14

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = π + \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.15

$π + \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.15.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.15.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.15.2.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.15.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

चरण 2.5.2.15.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.15.3.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

चरण 2.5.2.15.3.2

$4 π$ और $π$ जोड़ें.

$x = \frac{5 π}{4}$

चरण 2.5.2.16

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.16.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 2.5.2.16.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 2.5.2.16.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 2.5.2.16.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 2.5.2.17

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.7

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $e^{- x} \sin (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \frac{π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.1.2.2

$e^{- \frac{π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.1.2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{π}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

चरण 4.2

$x = \frac{5 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{5 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

चरण 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4.2.2.3

$e^{- \frac{5 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{5 π}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

चरण 4.3

$x = \frac{9 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{9 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.3.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3.2.3

$e^{- \frac{9 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{9 π}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

चरण 4.4

$x = \frac{13 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$\frac{13 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

चरण 4.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

चरण 4.4.2.2

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

चरण 4.4.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4.4.2.4

$e^{- \frac{13 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.4.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{13 π}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

चरण 4.5

$x = \frac{17 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\frac{17 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

चरण 4.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.5.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.5.2.3

$e^{- \frac{17 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.5.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{17 π}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

चरण 4.6

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

चरण 5