कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x e^{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

चरण 1.1.4.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (x e^{x} + e^{x})$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

चरण 1.1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 1.1.5.3

गुणनखंडों को $2 e^{x} x + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x e^{x} + 2 e^{x}$ है.

$2 x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

चरण 2.2

$2 x e^{x} + 2 e^{x}$ में से $2 e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 x e^{x}$ में से $2 e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{x} (x) + 2 e^{x} = 0$

चरण 2.2.2

$2 e^{x}$ में से $2 e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{x} (x) + 2 e^{x} (1) = 0$

चरण 2.2.3

$2 e^{x} (x) + 2 e^{x} (1)$ में से $2 e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{x} (x + 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 e^{x} (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 1$ हैं.

$- 1$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 2 x e^{x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ है.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = 2 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - 4 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

चरण 5.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 2) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

चरण 5.2.1.3

$- 4$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (- 2) = \frac{- 4}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

चरण 5.2.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 2) = - \frac{4}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

चरण 5.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 2) = - \frac{4}{e^{2}} + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

चरण 5.2.1.6

$2$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (- 2) = - \frac{4}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

चरण 5.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$- 4$ और $2$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

चरण 5.2.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{2}{e^{2}}$ है.

$- \frac{2}{e^{2}}$

चरण 5.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{2}{e^{2}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 1)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 2 (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

चरण 6.2.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

चरण 6.2.1.3

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 2 e^{0}$

चरण 6.2.1.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

चरण 6.2.1.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 2$

चरण 6.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$f' (0) = 2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 6.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $2$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 1)$

चरण 8