कैलकुलस उदाहरण

$y = 5 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

चरण 1

$y = 5 e^{- x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 e^{- x}$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$f (x)$ $[0, 2]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 4

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 5

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 5 e^{- x} d x)$

चरण 6

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 7.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 7.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 7.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 7.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 7.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

चरण 7.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 2$

चरण 7.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

चरण 7.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

चरण 9

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

चरण 10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

चरण 11.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

चरण 11.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \frac{1}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

चरण 12.3

$- 5$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

चरण 12.4

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} + 5)$

चरण 12.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

चरण 13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

चरण 13.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

चरण 14

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 5$

चरण 14.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{5}{e^{2}}$ से गुणा करें.

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 5$

चरण 14.3

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{5}{2}$

चरण 15