कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[- 2, 2]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{1}{x^{2} + 4}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 4 = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} = - 4$

चरण 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

चरण 1.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

चरण 1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.2.3.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 1.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 2$

चरण 1.2.3.6

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i$

चरण 1.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i$

चरण 1.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i$

चरण 1.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i, - 2 i$

चरण 1.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{2}$ और $4$ को पुन: क्रमित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

चरण 5.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $\arctan (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

चरण 7.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ पर और $- 2$ पर $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

चरण 7.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

चरण 7.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

चरण 7.2.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

चरण 7.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

चरण 7.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

चरण 7.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

चरण 7.2.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

चरण 7.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

चरण 7.3.2.2

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

चरण 7.3.2.3

$- - \frac{π}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

चरण 7.3.2.3.2

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

चरण 7.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

चरण 7.3.4

$π$ और $π$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

चरण 7.3.5

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.5.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

चरण 7.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.5.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

चरण 7.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

चरण 7.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

चरण 7.3.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 7.3.7

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.7.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 7.3.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

चरण 8

$2$ और $2$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

चरण 9

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{π}{4}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

चरण 9.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{π}{16}$

चरण 10