कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${t | t \in ℝ}$

चरण 2

$f (t)$ $[0, 7]$ पर निरंतर है.

$f (t)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

चरण 5

मान लीजिए $u = - t^{2}$ .फिर $d u = - 2 t d t$ , तो $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = - t^{2}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- t^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

चरण 5.1.2

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- (2 t)$

चरण 5.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 t$

चरण 5.2

$t$ के लिए $u = - t^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0^{2}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = - 0$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$t$ के लिए $u = - t^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 7^{2}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

चरण 5.5.2

$- 1$ को $49$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 49$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

चरण 6.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 49$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

चरण 10.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

चरण 11.3

$\frac{1}{e^{49}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

चरण 11.4

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

चरण 11.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

चरण 11.5

$2$ को $e^{49}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

चरण 12

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

चरण 12.2

$7$ और $0$ जोड़ें.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

चरण 13

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 14

$\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{7}$ को $\frac{1}{2 e^{49}}$ से गुणा करें.

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 14.2

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 15

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{7}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

चरण 15.2

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

चरण 16