कैलकुलस उदाहरण

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ है, जहाँ $f (u) = \sqrt{u}$ और $g (u) = 5 - u^{6}$ है.

$\sqrt{u} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $5 - u^{6}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ है.

$\sqrt{u} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 2.2

चूंकि $u$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $u$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\sqrt{u} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 3

$\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $u$ के संबंध में स्थिर है, $u$ के संबंध में $- u^{6}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ है.

$\sqrt{u} (0 - \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$\sqrt{u} (0 - (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 3.3

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sqrt{u} (0 - 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ में से $6 u^{5}$ घटाएं.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

चरण 4.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}})$

चरण 10.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2

घातांक जोड़कर $u^{\frac{1}{2}}$ को $u^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$u^{5}$ ले जाएं.

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.3

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.4

$5$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.6.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.2.6.2

$10$ और $1$ जोड़ें.

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.3

$- 6$ को $u^{\frac{11}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.4

$5$ और $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.5

$\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ और $u^{6}$ को मिलाएं.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7

घातांक जोड़कर $u^{6}$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.7.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7.2

$6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7.3

$6$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.7.5.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

चरण 11.2.7.5.2

$12$ में से $1$ घटाएं.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

चरण 11.2.8

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.9

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.11

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.12

$- 12 u^{\frac{11}{2}}$ में से $u^{\frac{11}{2}}$ घटाएं.

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$