कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2.2.1.2

सरल करें.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

${(\frac{1}{x})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{x}$ पर लागू करें.

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

चरण 1.2.2.3.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

चरण 1.2.3.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

चरण 1.2.3.2

भिन्नों को हटाने के लिए $x = \frac{1}{x^{3}}$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$x = \frac{1}{x^{3}}$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

चरण 1.2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1.1

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

चरण 1.2.3.2.2.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

चरण 1.2.3.2.2.1.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

चरण 1.2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.3.1

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

चरण 1.2.3.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{4} = 1$

चरण 1.2.3.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

चरण 1.2.3.3.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 1.2.3.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 1.2.3.3.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 1.2.3.3.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{1}$

चरण 1.3.2

$1$ को $x$ के लिए $y = \frac{1}{1}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{1}$

चरण 1.3.2.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 1$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{- 1}$

चरण 1.4.2

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y = - 1$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

चरण 3

$- 1$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $\sqrt[3]{x}$ से गुणा करें.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

चरण 3.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

चरण 3.6

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

चरण 3.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ है.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

चरण 3.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$\frac{3}{4}$ और $x^{\frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

चरण 3.8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$1$ पर और $- 1$ पर $\ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

चरण 3.8.2.2

$1$ पर और $- 1$ पर $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

चरण 3.8.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

चरण 3.8.2.3.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

चरण 3.8.2.3.3

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

चरण 3.8.2.3.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

चरण 3.8.2.3.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

चरण 3.8.2.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

चरण 3.8.2.3.6

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

चरण 3.8.2.3.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

चरण 3.8.2.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

चरण 3.8.2.3.9

$3$ में से $3$ घटाएं.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

चरण 3.8.2.3.10

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.10.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

चरण 3.8.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.10.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

चरण 3.8.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

चरण 3.8.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

चरण 3.8.2.3.10.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

चरण 3.8.2.3.11

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

चरण 3.8.2.3.12

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

चरण 3.8.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

चरण 3.8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

चरण 3.8.4.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 1$ और $0$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{1}{1})$

चरण 3.8.4.3

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (1)$

चरण 3.9

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$0$

चरण 4