कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

चरण 1

दो ओर की सीमा को दाईं ओर की सीमा में प्रतिस्थापित करें.

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

चरण 2

$(x - 1) \ln (x - 1)$ को $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $1$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.2.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.2.2

$x$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

चरण 3.1.3

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 3.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

चरण 3.3.6

$\frac{1}{\ln (x - 1)}$ को $\ln^{- 1} (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

चरण 3.3.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = \ln (x - 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (x - 1)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

चरण 3.3.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

चरण 3.3.7.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (x - 1)$ से बदलें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

चरण 3.3.8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

चरण 3.3.8.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

चरण 3.3.8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

चरण 3.3.9

$\frac{1}{x - 1}$ और $\ln^{- 2} (x - 1)$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

चरण 3.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $\ln^{- 2} (x - 1)$ को भाजक में ले जाएँ.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

चरण 3.3.11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

चरण 3.3.12

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

चरण 3.3.13

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

चरण 3.3.14

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

चरण 3.3.15

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

चरण 3.3.16

गुणनखंडों को $- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ में पुन: क्रमित करें.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

चरण 3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

चरण 3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

चरण 3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

चरण 3.7

$- 1$ को $\ln^{2} (x - 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

चरण 3.8

$- 1 \ln^{2} (x - 1)$ को $- \ln^{2} (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

चरण 3.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

चरण 3.10

$- - \ln^{2} (x - 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

चरण 3.10.2

$\ln^{2} (x - 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

चरण 3.11

गुणनखंडों को $- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ में पुन: क्रमित करें.

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

चरण 4

फलन $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $1$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $1$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ का लिमिट $x$ के रूप में $1$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0$