कैलकुलस उदाहरण

$e^{x} \sin (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

चरण 1.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ है.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

चरण 2.2

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

चरण 2.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$\cos (x) + \sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\cos (x) + \sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $\cos (x) + \sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.2

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.4

अलग-अलग भिन्न

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 2.5.2.6

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

चरण 2.5.2.7

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$1 + \tan (x) = 0$

चरण 2.5.2.8

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\tan (x) = - 1$

चरण 2.5.2.9

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (- 1)$

चरण 2.5.2.10

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.10.1

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$x = - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.11

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - \frac{π}{4} - π$

चरण 2.5.2.12

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.12.1

$2 π$ को $- \frac{π}{4} - π$ में जोड़ें.

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

चरण 2.5.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{4} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.13

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.13.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 2.5.2.13.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 2.5.2.13.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 2.5.2.13.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 2.5.2.14

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.14.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $π$ को $- \frac{π}{4}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{4} + π$

चरण 2.5.2.14.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.14.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.14.3.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.14.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 2.5.2.14.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.14.4.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

चरण 2.5.2.14.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.14.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.15

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $e^{x} \sin (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \frac{3 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{3 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.1.2.3

$e^{\frac{3 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2

$x = \frac{7 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{7 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

चरण 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4.2.2.3

$e^{\frac{7 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3

$x = \frac{11 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{11 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.3.2.2

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.3.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.3.2.4

$e^{\frac{11 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.4

$x = \frac{15 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$\frac{15 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

चरण 4.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

चरण 4.4.2.2

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

चरण 4.4.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4.4.2.4

$e^{\frac{15 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.5

$x = \frac{19 π}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\frac{19 π}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

चरण 4.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

चरण 4.5.2.2

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

चरण 4.5.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 4.5.2.4

$e^{\frac{19 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.6

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

चरण 5