कैलकुलस उदाहरण

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

चरण 1

ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्र को परिभाषित करें और फिर पूरे रेंज में एकीकृत करें. प्रत्येक स्लाइस का क्षेत्रफल $f (y)$ और $A = π r^{2}$ त्रिज्या वाले वृत्तों का क्षेत्रफल है.

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ जहां $f (y) = - y^{2} + 14 y$ और $g (y) = y^{2}$

चरण 2

समाकल्य को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ को $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.2.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.4

$y^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.6

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.6.1

$y$ ले जाएं.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.6.2

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.6.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.6.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.7

$- 1$ को $14$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.9

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.9.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.9.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.9.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.9.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.9.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.10

$14$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.11

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.12

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.12.1

$y$ ले जाएं.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.12.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.1.13

$14$ को $14$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.3.2

$- 14 y^{3}$ में से $14 y^{3}$ घटाएं.

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

चरण 2.1.4

घातांक को ${(y^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

चरण 2.1.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

चरण 2.2

$y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$y^{4}$ में से $y^{4}$ घटाएं.

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

चरण 2.2.2

$- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

चरण 4

चूँकि $- 28$ बटे $y$ अचर है, $- 28$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

चरण 6

$\frac{1}{4}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

चरण 7

चूँकि $196$ बटे $y$ अचर है, $196$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{3}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

चरण 9.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$7$ पर और $0$ पर $\frac{y^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

चरण 9.2.2

$7$ पर और $0$ पर $\frac{y^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$7$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.3

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.5

$\frac{2401}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.6

$- 28$ और $\frac{2401}{4}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.7

$- 28$ को $2401$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.8

$- 67228$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.8.1

$- 67228$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.8.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.8.2.4

$- 16807$ को $1$ से विभाजित करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.9

$7$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

चरण 9.2.3.10

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

चरण 9.2.3.11

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.11.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

चरण 9.2.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.11.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

चरण 9.2.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

चरण 9.2.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

चरण 9.2.3.11.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

चरण 9.2.3.12

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

चरण 9.2.3.13

$\frac{343}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

चरण 9.2.3.14

$196$ और $\frac{343}{3}$ को मिलाएं.

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

चरण 9.2.3.15

$196$ को $343$ से गुणा करें.

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

चरण 9.2.3.16

$- 16807$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

चरण 9.2.3.17

$- 16807$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

चरण 9.2.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

चरण 9.2.3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.19.1

$- 16807$ को $3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

चरण 9.2.3.19.2

$- 50421$ और $67228$ जोड़ें.

$V = π (\frac{16807}{3})$

चरण 9.2.3.20

$π$ और $\frac{16807}{3}$ को मिलाएं.

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

चरण 9.2.3.21

$16807$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$V = \frac{16807 π}{3}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$V = \frac{16807 π}{3}$

दशमलव रूप:

$V = 17600.24924296 \dots$

चरण 11