कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 t {(3 t^{3} - 4)}^{4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (2 t {(3 t^{3} - 4)}^{4})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t {(3 t^{3} - 4)}^{4}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t {(3 t^{3} - 4)}^{4}]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t {(3 t^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = {(3 t^{3} - 4)}^{4}$ है.

$2 (t \frac{d}{d t} [{(3 t^{3} - 4)}^{4}] + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{4}$ और $g (t) = 3 t^{3} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 t^{3} - 4$ के रूप में सेट करें.

$2 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [3 t^{3} - 4]) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$2 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [3 t^{3} - 4]) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 t^{3} - 4$ से बदलें.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t^{3} - 4]) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4

अवकलन करें.

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चरण 3.4.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $3 t^{3} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ है.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ है.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.4

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (9 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (9 t^{2} + 0)) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.6.1

$9 t^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (t (4 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (9 t^{2})) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.6.2

$9$ को $4$ से गुणा करें.

$2 (t (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3} t^{2}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (t^{2} t^{1} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (t^{2 + 1} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$2 (t^{3} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (t^{3} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4} \cdot 1)$

चरण 3.9

${(3 t^{3} - 4)}^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (t^{3} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3}) + {(3 t^{3} - 4)}^{4})$

चरण 3.10

सरल करें.

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चरण 3.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (t^{3} (36 {(3 t^{3} - 4)}^{3})) + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{4}$

चरण 3.10.2

$36$ को $2$ से गुणा करें.

$72 (t^{3} ({(3 t^{3} - 4)}^{3})) + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{4}$

चरण 3.10.3

$72 t^{3} {(3 t^{3} - 4)}^{3} + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{4}$ में से $2 {(3 t^{3} - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

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चरण 3.10.3.1

$72 t^{3} {(3 t^{3} - 4)}^{3}$ में से $2 {(3 t^{3} - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (36 t^{3}) + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{4}$

चरण 3.10.3.2

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{4}$ में से $2 {(3 t^{3} - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (36 t^{3}) + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (3 t^{3} - 4)$

चरण 3.10.3.3

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (36 t^{3}) + 2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (3 t^{3} - 4)$ में से $2 {(3 t^{3} - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (36 t^{3} + 3 t^{3} - 4)$

चरण 3.10.4

$36 t^{3}$ और $3 t^{3}$ जोड़ें.

$2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (39 t^{3} - 4)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (39 t^{3} - 4)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 2 {(3 t^{3} - 4)}^{3} (39 t^{3} - 4)$