कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{t} e^{- t}$

चरण 1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = t^{\frac{1}{2}} e^{- t}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} e^{- t})$

चरण 3

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = e^{- t}$ है.

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- t$ के रूप में सेट करें.

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$t^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- t$ से बदलें.

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$t^{\frac{1}{2}} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.3.2

$- 1$ को $e^{- t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.3.3

$- 1 e^{- t}$ को $- e^{- t}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 4.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 4.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 4.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

चरण 4.9

$\frac{1}{2}$ और $t^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 4.10

$e^{- t}$ और $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + \frac{e^{- t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 4.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $t^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$t^{\frac{1}{2}} (- e^{- t}) + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = - e^{- t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$