कैलकुलस उदाहरण

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.2.6

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.3.2

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.3.3

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

चरण 1.1.4.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ है.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

चरण 2.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

चरण 2.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

चरण 2.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.4.1

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

चरण 2.2.1.4.2

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

चरण 2.2.1.4.3

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

चरण 2.2.1.4.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

चरण 2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$5$ में से $5$ घटाएं.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

चरण 2.2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

चरण 2.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = - 2, 0$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

चरण 4.1.2.1.3

$- 5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 1 + 10 - 2$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$- 1$ और $10$ जोड़ें.

$9 - 2$

चरण 4.1.2.2.2

$9$ में से $2$ घटाएं.

$7$

चरण 4.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

चरण 4.2.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

चरण 4.2.2.1.3

$- 5$ को $0$ से गुणा करें.

$1 + 0 - 2$

चरण 4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - 2$

चरण 4.2.2.2.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- 1$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 2, 7), (0, - 1)$

चरण 5