कैलकुलस उदाहरण

$x = 10 (\sqrt{1 + t^{4}} - 1)$

चरण 1

$\sqrt{1 + t^{4}}$ को ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = 10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1))$

चरण 3

$t$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $x'$ है.

$x'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $10$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$ है.

$10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$10 (\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = 1 + t^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + t^{4}$ के रूप में सेट करें.

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + t^{4}$ से बदलें.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$10 (\frac{{(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.8

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ है.

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.9

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.10

$0$ और $\frac{d}{d t} [t^{4}]$ जोड़ें.

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.12

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$4$ और $\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$10 (\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.12.2

$\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ और $t^{3}$ को मिलाएं.

$10 (\frac{4 t^{3}}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.12.3

$4 t^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

$2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4.14

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + 0)$

चरण 4.15

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.1

$\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ और $0$ जोड़ें.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.15.2

$10$ और $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.15.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.3.1

$2$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{20 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.15.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$