कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = e^{- x} + 1$ और $g (y) = e^{x}$ है.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

चरण 3.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घातांक को ${(e^{x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

चरण 3.2.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{- x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.6

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.7

$e^{- x} (- x')$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.8

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.8.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.8.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.9

$e^{0} (- x')$ को सरल करें.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3.10

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

चरण 3.10.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

चरण 3.10.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

चरण 3.11

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{- x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.3.1.1.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.1.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.2

$- e^{0} x'$ को सरल करें.

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.3

$- 1 x'$ को $- x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.1.5

$- 1 (e^{x} x')$ को $- (e^{x} x')$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.3.2

$- x'$ में से $x'$ घटाएं.

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.5

$- e^{x} x' - 2 x'$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.5.1

$- e^{x} x'$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.5.2

$- 2 x'$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.5.3

$x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.6

$- e^{x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.7

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.8

$- (e^{x}) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.9

$- (e^{x} + 2)$ को $- 1 (e^{x} + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

चरण 3.12.11

गुणनखंडों को $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

चरण 5.2

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

चरण 5.2.2.2.2

गुणनखंडों को $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

चरण 5.3

दोनों पक्षों को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

चरण 5.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

चरण 5.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

चरण 5.4.1.3

$2$ को $x'$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

चरण 5.5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$x' e^{x} + 2 x'$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$x' e^{x}$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

चरण 5.5.1.2

$2 x'$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

चरण 5.5.1.3

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

चरण 5.5.2

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ के प्रत्येक पद को $e^{x} + 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ के प्रत्येक पद को $e^{x} + 2$ से विभाजित करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$e^{x} + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

चरण 5.5.2.2.1.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

चरण 5.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$