कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

चरण 1.1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

चरण 1.1.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ है.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

चरण 1.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 1.1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 1.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 1.1.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

चरण 1.1.3.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

चरण 1.1.3.5

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

चरण 1.1.4.2

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

चरण 1.1.4.2.2

$- 3 \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

चरण 1.1.4.2.3

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

चरण 1.1.4.3

$\cos^{2} (x)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

चरण 1.1.4.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

चरण 1.1.4.5

$\cos^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

चरण 1.1.4.6

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

चरण 1.1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ को $- (1 - \cos^{2} (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

चरण 1.1.4.8

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

चरण 1.1.4.9

घातांक जोड़कर $\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ ले जाएं.

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

चरण 1.1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.9.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

चरण 1.1.4.9.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

चरण 1.1.4.9.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

चरण 1.1.4.10

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 3 \sin^{3} (x)$ है.

$- 3 \sin^{3} (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

चरण 2.2

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.2.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

चरण 2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$0$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$\sin^{3} (x) = 0$

चरण 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

चरण 2.4

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 2.4.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$\sin (x) = 0$

चरण 2.5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 2.6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.7

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 2.8

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 2.9

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.9.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.9.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.9.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.10

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.11

उत्तरों को समेकित करें.

$x = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $π n$ हैं.

$π n$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ है.

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $π n - 1$ से बदलें.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

चरण 5.2

अंतिम उत्तर $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ है.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

चरण 5.3

सरल करें.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

चरण 5.4

$x = π n - 1$ पर व्युत्पन्न $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, π n)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $π n + 1$ से बदलें.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ है.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

चरण 6.3

सरल करें.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

चरण 6.4

$x = π n + 1$ पर व्युत्पन्न $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(π n, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(π n, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

चरण 8