कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} e^{x}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

चरण 1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

चरण 1.1.4.2

गुणनखंडों को $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

चरण 1.2.2.3

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3} e^{x}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ है.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

चरण 1.2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

चरण 1.2.3.3

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

चरण 1.2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

चरण 1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

चरण 1.2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

चरण 1.2.4.2.2

$e^{x} (4 x^{3})$ और $4 x^{3} e^{x}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

चरण 1.2.4.2.2.2

$4 x^{3} e^{x}$ और $4 x^{3} e^{x}$ जोड़ें.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

चरण 1.2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

चरण 1.2.4.4

गुणनखंडों को $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ है.

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$x^{4} e^{x}$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

चरण 2.2.1.2

$8 x^{3} e^{x}$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

चरण 2.2.1.3

$12 x^{2} e^{x}$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

चरण 2.2.1.4

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

चरण 2.2.1.5

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ में से $x^{2} e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 8 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $12$ है और जिसका योग $8$ है.

$2, 6$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

चरण 2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.5.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.6

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.7

$x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 6 = 0$

चरण 2.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$x = - 6$

चरण 2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 2, - 6$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 e^{0}$

चरण 3.1.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f (0) = 0 \cdot 1$

चरण 3.1.2.3

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = 0$

चरण 3.1.2.4

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 0)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

चरण 3.3.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

चरण 3.3.2.3

$16$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

चरण 3.3.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{16}{e^{2}}$ है.

$\frac{16}{e^{2}}$

चरण 3.4

$- 2$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

चरण 3.5

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 6$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6$ से बदलें.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

चरण 3.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$- 6$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

चरण 3.5.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

चरण 3.5.2.3

$1296$ और $\frac{1}{e^{6}}$ को मिलाएं.

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

चरण 3.5.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1296}{e^{6}}$ है.

$\frac{1296}{e^{6}}$

चरण 3.6

$- 6$ को $f (x) = x^{4} e^{x}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

चरण 3.7

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 6)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6.1$ से बदलें.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 6.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.3

$1384.5841$ और $\frac{1}{e^{6.1}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.4

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.5

$2.71828182$ को $6.1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.6

$1384.5841$ को $445.85777008$ से विभाजित करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.7

$- 6.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.8

$8$ को $- 226.981$ से गुणा करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.10

$- 1815.848$ और $\frac{1}{e^{6.1}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.12

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.13

$2.71828182$ को $6.1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.14

$1815.848$ को $445.85777008$ से विभाजित करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.15

$- 1$ को $4.07270686$ से गुणा करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.16

$- 6.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

चरण 5.2.1.17

$12$ को $37.21$ से गुणा करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

चरण 5.2.1.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

चरण 5.2.1.19

$446.52$ और $\frac{1}{e^{6.1}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

चरण 5.2.1.20

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

चरण 5.2.1.21

$2.71828182$ को $6.1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

चरण 5.2.1.22

$446.52$ को $445.85777008$ से विभाजित करें.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3.10543898$ में से $4.07270686$ घटाएं.

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

चरण 5.2.2.2

$- 0.96726787$ और $1.00148529$ जोड़ें.

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $0.03421741$ है.

$0.03421741$

चरण 5.3

$- 6.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.03421741$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 6)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 6)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 6, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.3

$256$ और $\frac{1}{e^{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.4

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.5

$8$ को $- 64$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.7

$- 512$ और $\frac{1}{e^{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

चरण 6.2.1.9

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

चरण 6.2.1.10

$12$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

चरण 6.2.1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

चरण 6.2.1.12

$192$ और $\frac{1}{e^{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

चरण 6.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

चरण 6.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$256$ में से $512$ घटाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

चरण 6.2.2.2.2

$- 256$ और $192$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

चरण 6.2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{64}{e^{4}}$ है.

$- \frac{64}{e^{4}}$

चरण 6.3

$- 4$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 1.17220088$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 6, - 2)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 6, - 2)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.2

$e^{- 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.4

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.5

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.7

$- 8$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

चरण 7.2.1.9

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

चरण 7.2.1.10

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

चरण 7.2.1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

चरण 7.2.1.12

$12$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

चरण 7.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

चरण 7.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$1$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

चरण 7.2.2.2.2

$- 7$ और $12$ जोड़ें.

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{5}{e}$ है.

$\frac{5}{e}$

चरण 7.3

$- 1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.8393972$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 2, 0)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 2, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$0.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2.1.2

$0.0001$ को $e^{0.1}$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2.1.3

$0.1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2.1.4

$8$ को $0.001$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2.1.5

$0.008$ को $e^{0.1}$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

चरण 8.2.1.6

$0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

चरण 8.2.1.7

$12$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

चरण 8.2.1.8

$0.12$ को $e^{0.1}$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

चरण 8.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$0.00011051$ और $0.00884136$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

चरण 8.2.2.2

$0.00895188$ और $0.13262051$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 0.14157239$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $0.14157239$ है.

$0.14157239$

चरण 8.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.14157239$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

चरण 10