कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{7 x} + e^{- x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{7 x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{7 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{7 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 7 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $7 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.2.5

$7$ को $e^{7 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

चरण 1.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

चरण 1.1.3.3

$f' (x) = 7 e^{7 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 7 e^{7 x} + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 1.1.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 7 e^{7 x} - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 7 e^{7 x} - e^{- x}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $7 e^{7 x} - e^{- x}$ है.

$7 e^{7 x} - e^{- x}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $7 e^{7 x} - e^{- x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$7 e^{7 x} - e^{- x} = 0$

चरण 2.2

$- e^{- x}$ को दोनों पक्षों में जोड़कर समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ.

$7 e^{7 x} = e^{- x}$

चरण 2.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (e^{- x})$

चरण 2.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\ln (7 e^{7 x})$ को $\ln (7) + \ln (e^{7 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (7) + \ln (e^{7 x}) = \ln (e^{- x})$

चरण 2.4.2

$7 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{7 x})$ का प्रसार करें.

$\ln (7) + 7 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

चरण 2.4.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (7) + 7 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

चरण 2.4.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (7) + 7 x = \ln (e^{- x})$

चरण 2.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- x})$ का प्रसार करें.

$\ln (7) + 7 x = - x \ln (e)$

चरण 2.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (7) + 7 x = - x \cdot 1$

चरण 2.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (7) + 7 x = - x$

चरण 2.6

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$\ln (7) + 7 x + x = 0$

चरण 2.6.2

$7 x$ और $x$ जोड़ें.

$\ln (7) + 8 x = 0$

चरण 2.7

समीकरण के दोनों पक्षों से $\ln (7)$ घटाएं.

$8 x = - \ln (7)$

चरण 2.8

$8 x = - \ln (7)$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$8 x = - \ln (7)$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- \ln (7)}{8}$

चरण 2.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- \ln (7)}{8}$

चरण 2.8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- \ln (7)}{8}$

चरण 2.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{\ln (7)}{8}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{\ln (7)}{8}$ हैं.

$- \frac{\ln (7)}{8}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 7 e^{7 x} - e^{- x}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = e^{7 x} + e^{- x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8}) \cup (- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$ है.

$(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8}) \cup (- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.24323876$ से बदलें.

$f' (- 1.24323876) = 7 e^{7 (- 1.24323876)} - e^{- (- 1.24323876)}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$7$ को $- 1.24323876$ से गुणा करें.

$f' (- 1.24323876) = 7 e^{- 8.70267138} - e^{- (- 1.24323876)}$

चरण 5.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1.24323876) = 7 (\frac{1}{e^{8.70267138}}) - e^{- (- 1.24323876)}$

चरण 5.2.1.3

$7$ और $\frac{1}{e^{8.70267138}}$ को मिलाएं.

$f' (- 1.24323876) = \frac{7}{e^{8.70267138}} - e^{- (- 1.24323876)}$

चरण 5.2.1.4

$- 1$ को $- 1.24323876$ से गुणा करें.

$f' (- 1.24323876) = \frac{7}{e^{8.70267138}} - e^{1.24323876}$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{7}{e^{8.70267138}} - e^{1.24323876}$ है.

$\frac{7}{e^{8.70267138}} - e^{1.24323876}$

चरण 5.3

सरल करें.

$- 3.46566055$

चरण 5.4

$x = - 1.24323876$ पर व्युत्पन्न $- 3.46566055$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.75676123$ से बदलें.

$f' (0.75676123) = 7 e^{7 (0.75676123)} - e^{- (0.75676123)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$7$ को $0.75676123$ से गुणा करें.

$f' (0.75676123) = 7 e^{5.29732861} - e^{- (0.75676123)}$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $0.75676123$ से गुणा करें.

$f' (0.75676123) = 7 e^{5.29732861} - e^{- 0.75676123}$

चरण 6.2.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0.75676123) = 7 e^{5.29732861} - \frac{1}{e^{0.75676123}}$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $7 e^{5.29732861} - \frac{1}{e^{0.75676123}}$ है.

$7 e^{5.29732861} - \frac{1}{e^{0.75676123}}$

चरण 6.3

सरल करें.

$1398.1472548$

चरण 6.4

$x = 0.75676123$ पर व्युत्पन्न $1398.1472548$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \frac{\ln (7)}{8}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \frac{\ln (7)}{8})$

चरण 8