कैलकुलस उदाहरण

$10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ है.

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

चरण 1.2

चूंकि $t$ के संबंध में $10$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

चरण 2

$\frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चूंकि $0.8$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ का व्युत्पन्न $0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ है.

$0 + 0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = \sin (\frac{t^{3}}{100})$ है.

$0 + 0.8 (t \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{100})] + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = \frac{t^{3}}{100}$ है.

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चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{t^{3}}{100}$ के रूप में सेट करें.

$0 + 0.8 (t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$0 + 0.8 (t (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{t^{3}}{100}$ से बदलें.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.4

चूंकि $\frac{1}{100}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{t^{3}}{100}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ है.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}])) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.7

$3$ और $\frac{1}{100}$ को मिलाएं.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{3}{100} t^{2})) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.8

$\frac{3}{100}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{3 t^{2}}{100}) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.9

$\cos (\frac{t^{3}}{100})$ और $\frac{3 t^{2}}{100}$ को मिलाएं.

$0 + 0.8 (t \frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.10

$t$ और $\frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100}$ को मिलाएं.

$0 + 0.8 (\frac{t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.11

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 + 0.8 (\frac{t^{2} t^{1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0 + 0.8 (\frac{t^{2 + 1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.13

$2$ और $1$ जोड़ें.

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.14

$3$ को $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cdot \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

चरण 2.15

$\sin (\frac{t^{3}}{100})$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}))$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 + 0.8 \frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.2.1

$0.8$ और $\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{0.8 (t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.2.2

$3$ को $0.8$ से गुणा करें.

$0 + \frac{2.4 (t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.2.3

$0$ और $\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$ जोड़ें.

$\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 3.3.1

$2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ में से $2.4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.3.2

$100$ में से $100$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100 (1)} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.3.3

अलग-अलग भिन्न

$\frac{2.4}{100} \cdot \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.3.4

$2.4$ को $100$ से विभाजित करें.

$0.024 \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

चरण 3.3.5

$t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ को $1$ से विभाजित करें.

$0.024 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}) + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$