कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

चरण 1

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 8 + e^{x}$ है.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.4

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.5

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.5.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.2.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.2.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.6.2.1.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.6.2.2

$8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.1.6.2.2.2

$8 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ है.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$8 e^{x} = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (8 e^{x}) = \ln (0)$

चरण 3.3.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 3.3.3

$8 e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 5

कोई भी संख्या व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित नहीं बनाता है. $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ बढ़ रहा है या घट रहा है, यह जांचने के लिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 6

परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं, यह जांचने के लिए व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ में अंतराल $(- \infty, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ प्रतिस्थापित करें. यदि परिणाम ऋणात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ घट रहा है. यदि परिणाम धनात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = \frac{8 e^{1}}{{(8 + e^{1})}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

सरल करें.

$f' (1) = \frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ है.

$\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

चरण 7

$1$ को $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ में बदलने का परिणाम $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ है, जो धनात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} > 0$ के बाद से $(- \infty, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

अंतराल $(- \infty, \infty)$ के ऊपर बढ़ने का अर्थ है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है.

हमेशा बढ़ता हुआ

चरण 9