कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$

चरण 1

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$ का व्युत्पन्न लें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{1}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 9.5

सरल करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

चरण 10

${\sqrt{x}}^{4}$ को $x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1}$

चरण 10.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1}$

चरण 10.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{4}{2}} + 1}$

चरण 10.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1}$

चरण 10.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1}$

चरण 10.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1}$

चरण 10.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2}{1}} + 1}$

चरण 10.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1}$

चरण 11

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{x}{x^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

चरण 12

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 13

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 13.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 13.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 13.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

चरण 13.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$