कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1

$\frac{\ln (x)}{x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 2.1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 2.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ है.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 - \ln (x) = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \ln (x) = - 1$

चरण 3.3.2

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = 1$

चरण 3.3.3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

चरण 3.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{1} = x$

चरण 3.3.5

समीकरण को $x = e^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $e$ हैं.

$e$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 5.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 5.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 5.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 5.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

चरण 7

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(0, e)$

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, e)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.35914085$ से बदलें.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$1.35914085$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

चरण 8.2.2

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

चरण 8.2.3

$1.35914085$ का लघुगणक बेस $2.71828182$ लगभग $0.30685277$ है.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

चरण 8.2.4

$- 1$ को $0.30685277$ से गुणा करें.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

चरण 8.2.5

$1$ में से $0.30685277$ घटाएं.

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

चरण 8.2.6

$0.69314722$ को $1.84726385$ से विभाजित करें.

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

चरण 8.2.7

अंतिम उत्तर $0.37522914$ है.

$0.37522914$

चरण 8.3

$x = 1.35914085$ पर व्युत्पन्न $0.37522914$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, e)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, e)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(0, e), (e, \infty)$

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(e, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.7182817$ से बदलें.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$3.7182817$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

चरण 10.2.2

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

चरण 10.2.3

$3.7182817$ का लघुगणक बेस $2.71828182$ लगभग $1.31326165$ है.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

चरण 10.2.4

$- 1$ को $1.31326165$ से गुणा करें.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

चरण 10.2.5

$1$ में से $1.31326165$ घटाएं.

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

चरण 10.2.6

$- 0.31326165$ को $13.8256188$ से विभाजित करें.

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

चरण 10.2.7

अंतिम उत्तर $- 0.02265805$ है.

$- 0.02265805$

चरण 10.3

$x = 3.7182817$ पर व्युत्पन्न $- 0.02265805$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(e, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(e, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, e)$

इस पर घटता हुआ: $(e, \infty)$

चरण 12