कैलकुलस उदाहरण

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

चरण 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

चरण 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{3} - 27 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

चरण 2.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

चरण 2.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 27 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $- 27$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 27 y$ का व्युत्पन्न $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} y' - 27 y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 90$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 90$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 90$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.3.4

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

चरण 2.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3 y^{2} y' - 27 y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$3 y^{2} y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

चरण 2.5.1.2

$- 27 y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

चरण 2.5.1.3

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

चरण 2.5.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

चरण 2.5.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

चरण 2.5.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

चरण 2.5.4

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $3 (y + 3) (y - 3)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $3 (y + 3) (y - 3)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2.2

$y + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2.3

$y - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.5.4.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 2.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x = 0$

चरण 3.2

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 - 90$

चरण 4.2.2

$0$ में से $90$ घटाएं.

$f (0) = - 90$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- 90$ है.

$- 90$

चरण 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

चरण 6