कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 1 - x^{2}$ ; $[0, 2]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$1 - x^{2} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $1 - x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x^{2} = - 1$

चरण 1.2.2

$- x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 1$

चरण 1.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 1.2.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 1.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 1.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 1.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 1.3

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

चरण 2

$1$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - x^{2} + 1$

चरण 3

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

चरण 4

$0$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 - (0) d x$

चरण 4.2

$- x^{2} + 1$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x$

चरण 4.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

चरण 4.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

चरण 4.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

चरण 4.6

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

चरण 4.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1}$

चरण 4.8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + x]_{0}^{1}$

चरण 4.8.2

$1$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.3

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.3.3.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (\frac{1}{3} - 0) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{3} + 0) + 1 + 0$

चरण 4.8.3.5

$\frac{1}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{3} + 1 + 0$

चरण 4.8.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{3} + 1$

चरण 4.8.3.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

चरण 4.8.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

चरण 4.8.3.9

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2}{3}$

चरण 5

$A r e a = \int_{1}^{2} 0 d x - \int_{1}^{2} - x^{2} + 1 d x$

चरण 6

$1$ और $2$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{2} 0 - (- x^{2} + 1) d x$

चरण 6.2

$0$ में से $- x^{2} + 1$ घटाएं.

$\int_{1}^{2} - (- x^{2} + 1) d x$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 1 \cdot 1 d x$

चरण 6.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 1 d x$

चरण 6.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

चरण 6.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

चरण 6.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

चरण 6.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ और $- x]_{1}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{3} - x]_{1}^{2}$

चरण 6.8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{1}{3} x^{3} - x$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.2.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{8}{3} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} - 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.4

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.5

$- 2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.2.7.1

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8 - 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.7.2

$8$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.9

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 1 \cdot 1)$

चरण 6.8.2.2.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 1)$

चरण 6.8.2.2.11

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

चरण 6.8.2.2.12

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

चरण 6.8.2.2.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} - \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

चरण 6.8.2.2.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.2.14.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} - \frac{1 - 3}{3}$

चरण 6.8.2.2.14.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3}$

चरण 6.8.2.2.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{3} - - \frac{2}{3}$

चरण 6.8.2.2.16

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

चरण 6.8.2.2.17

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

चरण 6.8.2.2.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 2}{3}$

चरण 6.8.2.2.19

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4}{3}$

चरण 7

क्षेत्रफल $\frac{2}{3} + \frac{4}{3}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 4}{3}$

चरण 7.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{6}{3}$

चरण 7.2.2

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 8