कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{4} + 27$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4} + 27$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

चरण 1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4} + 27$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 27$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $27$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $27$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

चरण 1.1.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

चरण 1.1.2.4.2

$4$ और $\frac{1}{x^{4} + 27}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

चरण 1.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

चरण 1.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{4} + 27$ है.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.2

$3$ को $x^{4} + 27$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 27$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ है.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.4

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $27$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $27$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.6.1

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.3.6.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.4

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.4.3

$3$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

चरण 1.2.5

$4$ और $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.4.1.1

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.1.3

$2$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.3

$3$ को $27$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.4

$81$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.1.5

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.2.6.4.2

$12 x^{6}$ में से $16 x^{6}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ है.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ में से $- 4 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$- 4 x^{6}$ में से $- 4 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

चरण 2.3.1.1.2

$324 x^{2}$ में से $- 4 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

चरण 2.3.1.1.3

$- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ में से $- 4 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

चरण 2.3.1.2

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

चरण 2.3.1.3

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

चरण 2.3.1.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

चरण 2.3.1.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

चरण 2.3.1.5.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1.2.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

चरण 2.3.1.5.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

चरण 2.3.1.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

चरण 2.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.3

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.3.3.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.3.3.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.3.3.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.3.4

$x^{2} + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$x^{2} + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 9 = 0$

चरण 2.3.4.2

$x$ के लिए $x^{2} + 9 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x^{2} = - 9$

चरण 2.3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

चरण 2.3.4.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.3.1

$- 9$ को $- 1 (9)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

चरण 2.3.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

चरण 2.3.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

चरण 2.3.4.2.3.4

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

चरण 2.3.4.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 3$

चरण 2.3.4.2.3.6

$3$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 3 i$

चरण 2.3.4.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 3 i$

चरण 2.3.4.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 3 i$

चरण 2.3.4.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3 i, - 3 i$

चरण 2.3.5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.3.6

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = \ln (0 + 27)$

चरण 3.1.2.2

$0$ और $27$ जोड़ें.

$f (0) = \ln (27)$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $\ln (27)$ है.

$\ln (27)$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, \ln (27))$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, \ln (27))$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 3$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

चरण 3.3.2.2

$81$ और $27$ जोड़ें.

$f (- 3) = \ln (108)$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $\ln (108)$ है.

$\ln (108)$

चरण 3.4

$- 3$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 3, \ln (108))$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 3, \ln (108))$

चरण 3.5

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $3$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

चरण 3.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \ln (81 + 27)$

चरण 3.5.2.2

$81$ और $27$ जोड़ें.

$f (3) = \ln (108)$

चरण 3.5.2.3

अंतिम उत्तर $\ln (108)$ है.

$\ln (108)$

चरण 3.6

$3$ को $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(3, \ln (108))$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(3, \ln (108))$

चरण 3.7

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3.1$ से बदलें.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 3.1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.1.2

$- 4$ को $887.503681$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.1.3

$- 3.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.1.4

$324$ को $9.61$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.1.5

$- 3550.014724$ और $3113.64$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 3.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

$92.3521$ और $27$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

चरण 5.2.2.3

$119.3521$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

चरण 5.2.3

$- 436.374724$ को $14244.92377441$ से विभाजित करें.

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.0306337$ है.

$- 0.0306337$

चरण 5.3

$- 3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.0306337$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, - 3)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, - 3)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 3, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{3}{2}$ से बदलें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.3

$\frac{3^{6}}{2^{6}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.4

$3$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.5

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.6

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.6.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.6.2

$64$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.7

$- 1 (\frac{729}{16})$ को $- (\frac{729}{16})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.8

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.8.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.8.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.9

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.10

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.11

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.12

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.13

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.13.1

$324$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.14

$81$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.15

$729$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.16

$729$ और $\frac{16}{16}$ को मिलाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.18

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.18.1

$729$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.1.18.2

$- 729$ और $11664$ जोड़ें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.4

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.5

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

चरण 6.2.2.6

$27$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

चरण 6.2.2.7

$27$ और $\frac{16}{16}$ को मिलाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

चरण 6.2.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

चरण 6.2.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.9.1

$27$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

चरण 6.2.2.9.2

$81$ और $432$ जोड़ें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

चरण 6.2.2.10

उत्पाद नियम को $\frac{513}{16}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

चरण 6.2.2.11

$513$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

चरण 6.2.2.12

$16$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

चरण 6.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

चरण 6.2.4

$729$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$10935$ में से $729$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

चरण 6.2.4.2

$263169$ में से $729$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

चरण 6.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

चरण 6.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

चरण 6.2.5

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$256$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

चरण 6.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

चरण 6.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

चरण 6.2.6

$15$ और $\frac{16}{361}$ को मिलाएं.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

चरण 6.2.7

$15$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

चरण 6.2.8

अंतिम उत्तर $\frac{240}{361}$ है.

$\frac{240}{361}$

चरण 6.3

$- \frac{3}{2}$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.66481994$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 3, 0)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 3, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{2}$ से बदलें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$3$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.4.2

$64$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.5

$- 1 (\frac{729}{16})$ को $- (\frac{729}{16})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.6

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.7

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.8

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.9

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.9.1

$324$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.10

$81$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.11

$729$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.12

$729$ और $\frac{16}{16}$ को मिलाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.14.1

$729$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.1.14.2

$- 729$ और $11664$ जोड़ें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

चरण 7.2.2.4

$27$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{16}{16}$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

चरण 7.2.2.5

$27$ और $\frac{16}{16}$ को मिलाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

चरण 7.2.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

चरण 7.2.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.7.1

$27$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

चरण 7.2.2.7.2

$81$ और $432$ जोड़ें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

चरण 7.2.2.8

उत्पाद नियम को $\frac{513}{16}$ पर लागू करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

चरण 7.2.2.9

$513$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

चरण 7.2.2.10

$16$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

चरण 7.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

चरण 7.2.4

$729$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$10935$ में से $729$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

चरण 7.2.4.2

$263169$ में से $729$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

चरण 7.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

चरण 7.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

चरण 7.2.5

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

$256$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

चरण 7.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

चरण 7.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

चरण 7.2.6

$15$ और $\frac{16}{361}$ को मिलाएं.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

चरण 7.2.7

$15$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

चरण 7.2.8

अंतिम उत्तर $\frac{240}{361}$ है.

$\frac{240}{361}$

चरण 7.3

$\frac{3}{2}$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.66481994$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, 3)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.1$ से बदलें.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$3.1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$- 4$ को $887.503681$ से गुणा करें.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$3.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.1.4

$324$ को $9.61$ से गुणा करें.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.1.5

$- 3550.014724$ और $3113.64$ जोड़ें.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$3.1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$92.3521$ और $27$ जोड़ें.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$119.3521$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

चरण 8.2.3

$- 436.374724$ को $14244.92377441$ से विभाजित करें.

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.0306337$ है.

$- 0.0306337$

चरण 8.3

$3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.0306337$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(3, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(3, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

चरण 10