कैलकुलस उदाहरण

$3^{x + 1} d x$

चरण 1

$3^{x + 1} d x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

चरण 4

चूँकि $d$ बटे $x$ अचर है, $d$ को समाकलन से हटा दें.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = 3^{x + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ और $3^{x + 1}$ को मिलाएं.

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ को मिलाएं.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

चरण 6.3

$\frac{1}{\ln (3)}$ और $3^{x + 1}$ को मिलाएं.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{\ln (3)}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{\ln (3)}$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

चरण 8

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

चरण 9

$u$ के संबंध में $3^{u}$ का इंटीग्रल $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ है.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ को $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.2

प्रत्येक व्यंजक को $\ln^{2} (3)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ को $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.2.2

$\ln (3)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.2.3

$\ln (3)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

चरण 10.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

चरण 10.2.4

$d$ और $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ को मिलाएं.

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = 3^{x + 1} d x$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$