कैलकुलस उदाहरण

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

चरण 1

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = 1 - 2 x$ और $d v = \sqrt{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

चरण 6.2

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

चरण 6.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

चरण 6.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

चरण 6.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

चरण 8.2

$\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

चरण 9

चूँकि $\frac{4}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{4}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ है.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{2}{5}$ और $x^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 11.2

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ को $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.2.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.4

$5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.5

$- 20 x^{\frac{5}{2}}$ और $8 x^{\frac{5}{2}}$ जोड़ें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

चरण 11.3.6

$- 12 x^{\frac{5}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

चरण 11.3.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.1

$15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

चरण 11.3.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

चरण 11.3.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.4.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

चरण 11.4.3

$3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 11.4.3.2

$- 3$ और $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

चरण 11.4.3.3

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 11.4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$