कैलकुलस उदाहरण

${(6 x + 5)}^{2} d x$

चरण 1

${(6 x + 5)}^{2} d x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

चरण 4

चूँकि $d$ बटे $x$ अचर है, $d$ को समाकलन से हटा दें.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 6 x + 5$ .फिर $d u = 6 d x$ , तो $\frac{1}{6} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 6 x + 5$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$6 x + 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 5.1.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 + 0$

चरण 5.1.4.2

$6$ और $0$ जोड़ें.

$6$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

चरण 6

$\frac{1}{6}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

चरण 7.2

$\frac{u^{2}}{6}$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.3

$\frac{u^{2}}{6}$ को $\frac{u}{6}$ से गुणा करें.

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.4

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.7

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

चरण 7.8

$- 1 \frac{u^{2}}{6}$ और $\frac{5}{6}$ को मिलाएं.

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

चरण 7.9

$\frac{u^{2}}{6}$ और $5$ को मिलाएं.

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$5$ को $u^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

चरण 8.2

$- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ को $- \frac{5 u^{2}}{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

चरण 8.3

एक गुणनफल के रूप में $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ को फिर से लिखें.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

चरण 8.4

$\frac{1}{6}$ को $\frac{5 u^{2}}{6}$ से गुणा करें.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

चरण 8.5

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{36}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{36}$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

चरण 12

$\frac{1}{4}$ और $u^{4}$ को मिलाएं.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

चरण 14

चूँकि $\frac{5}{36}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{36}$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

चरण 15

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

चरण 16.2

सरल करें.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $6 x + 5$ से बदलें.

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

चरण 19

उत्तर फलन $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$