कैलकुलस उदाहरण

$\sin^{3} (2 x)$

चरण 1

$\sin^{3} (2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5

$\sin^{3} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

$\sin^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 8

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 9.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

चरण 14.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{3}$ और $\cos^{3} (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

चरण 15.3

$\frac{1}{2}$ और $\cos (2 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

चरण 15.4

जोड़ना.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

चरण 15.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

$\cos^{3} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

चरण 15.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$