कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

चरण 1

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

चरण 2

चर के मान में प्लग इन करके सीमाओं का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

चरण 2.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (0)$ को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

चरण 2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

चरण 2.4

चूँकि $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ अपरिभाषित है, इसलिए लिमिट मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$

चरण 3

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

चरण 4

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

चरण 4.1.1.2

जैसे-जैसे $x$ मान दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता हैं, फलन मान बिना किसी बाध्यता के बढ़ जाते हैं.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

चरण 4.1.1.3

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (x)$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$\frac{\infty}{- \infty}$

चरण 4.1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{- \infty}$

चरण 4.1.2

चूंकि $\frac{\infty}{- \infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 4.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 4.1.3.2

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (x)$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 4.1.3.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

चरण 4.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

चरण 4.2

$- \csc^{2} (x) x$ को $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

चरण 4.3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

चरण 4.3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

चरण 4.3.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

चरण 4.3.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

चरण 4.3.1.3.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 4.3.1.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 4.3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 4.3.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

चरण 4.3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

चरण 4.3.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

चरण 4.3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

चरण 4.3.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

चरण 4.3.3.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = \csc (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\csc (x)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

चरण 4.3.3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

चरण 4.3.3.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\csc (x)$ से बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

चरण 4.3.3.6

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc (x) \cot (x)$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

चरण 4.3.3.7

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

चरण 4.3.3.8

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

चरण 4.3.3.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

चरण 4.3.3.10

$1$ में से $3$ घटाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

चरण 4.3.3.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.11.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

चरण 4.3.3.11.2

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

चरण 4.3.3.11.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

चरण 4.3.3.11.4

$\sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.11.4.1

$2 \sin^{2} (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

चरण 4.3.3.11.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

चरण 4.3.3.11.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

चरण 4.3.3.11.5

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

चरण 4.3.4

अलग-अलग भिन्न

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

चरण 4.3.5

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ को $\csc (2 x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

चरण 4.3.6

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

चरण 4.4

चूँकि फलन $\csc (2 x)$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, ऋणात्मक स्थिरांक $- 1$ बार फलन $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

सतत एकाधिक $- 1$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

चरण 4.4.2

$\infty$

चरण 4.4.3

$- \infty$

चरण 5

यदि कोई एक तरफा सीमा मौजूद नहीं है, तो सीमा मौजूद नहीं है.

$मौजूद नहीं है$