कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ को ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = 2 - x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 - x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

चरण 1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

चरण 1.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x^{3}$ से बदलें.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

चरण 1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ है.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

चरण 1.1.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.8

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.10.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

चरण 1.1.2.12

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

चरण 1.1.2.13

$0$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

चरण 1.1.2.14

$\frac{1}{3}$ और ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

चरण 1.1.2.15

$- 3$ और $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

चरण 1.1.2.16

$\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

चरण 1.1.2.17

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2.18

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2.19

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.19.1

$3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

चरण 1.1.2.19.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2.19.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2.20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ है.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

चरण 3.2

$\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

चरण 3.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ को ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

घातांक को ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 3.3.2.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 3.3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

चरण 3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

चरण 3.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$2 - x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - x^{3} = 0$

चरण 3.3.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x^{3} = - 2$

चरण 3.3.3.2.2

$- x^{3} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.2.1

$- x^{3} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.3.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.3.3.2.2.2.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.3.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = 2$

चरण 3.3.3.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{2}$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

चरण 4.1.2.1.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$1 + \sqrt[3]{1}$

चरण 4.1.2.1.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$1 + 1$

चरण 4.1.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2$

चरण 4.2

$x = \sqrt[3]{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\sqrt[3]{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[3]{2}$ को $2^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

चरण 4.2.2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

चरण 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

चरण 4.2.2.1.1.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

चरण 4.2.2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

चरण 4.2.2.1.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

चरण 4.2.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

चरण 4.2.2.1.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

चरण 4.2.2.1.4

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 4.2.2.1.5

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$\sqrt[3]{2} + 0$

चरण 4.2.2.2

$\sqrt[3]{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\sqrt[3]{2}$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

चरण 5