कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = | x |$ और $g (x) = x^{2} - 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 16$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

चरण 1.1.1.2

$u$ के संबंध में $| u |$ का व्युत्पन्न $\frac{u}{| u |}$ है.

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 16$ से बदलें.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

चरण 1.1.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

चरण 1.1.2.4.2

$2$ और $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

चरण 1.1.2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.3.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.1.3.3.2

$2$ को $- 16$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ है.

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$2 x^{3} - 32 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$2 x^{3}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

चरण 2.3.1.1.2

$- 32 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

चरण 2.3.1.1.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

चरण 2.3.1.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

चरण 2.3.1.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

चरण 2.3.1.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

चरण 2.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 2.3.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.3.4

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.3.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 4, 4$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$| x^{2} - 16 | = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x^{2} - 16 = \pm 0$

चरण 3.2.2

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x^{2} - 16 = 0$

चरण 3.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $16$ जोड़ें.

$x^{2} = 16$

चरण 3.2.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{16}$

चरण 3.2.5

$\pm \sqrt{16}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

चरण 3.2.5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 4$

चरण 3.2.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 4$

चरण 3.2.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 4$

चरण 3.2.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 4, - 4$

चरण 3.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 4, x = 4$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $| x^{2} - 16 |$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$| {(0)}^{2} - 16 |$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$| 0 - 16 |$

चरण 4.1.2.2

$0$ में से $16$ घटाएं.

$| - 16 |$

चरण 4.1.2.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 16$ और $0$ के बीच की दूरी $16$ है.

$16$

चरण 4.2

$x = - 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| 16 - 16 |$

चरण 4.2.2.2

$16$ में से $16$ घटाएं.

$| 0 |$

चरण 4.2.2.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$0$

चरण 4.3

$x = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$| {(4)}^{2} - 16 |$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$| 16 - 16 |$

चरण 4.3.2.2

$16$ में से $16$ घटाएं.

$| 0 |$

चरण 4.3.2.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$0$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

चरण 5