कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$ को ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + 8 x + 17$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 8 x + 17$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 8 x + 17$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

चरण 1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 8 x + 17$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17])$

चरण 1.1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17])$

चरण 1.1.10

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [17])$

चरण 1.1.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [17])$

चरण 1.1.12

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [17])$

चरण 1.1.13

चूंकि $x$ के संबंध में $17$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $17$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 + 0)$

चरण 1.1.14

$2 x + 8$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8)$

चरण 1.1.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 8) \frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.2

$2 x + 8$ को $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 8}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.3

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 8}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.4

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 4}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.5

$2 (x) + 2 (4)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 4)}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.15.6.1

$2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + 4)}{2 ({(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 1.1.15.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 4)}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4) + 17}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{16 + 8 (- 4) + 17}$

चरण 4.1.2.2

$8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\sqrt{16 - 32 + 17}$

चरण 4.1.2.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$\sqrt{- 16 + 17}$

चरण 4.1.2.4

$- 16$ और $17$ जोड़ें.

$\sqrt{1}$

चरण 4.1.2.5

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$1$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 4, 1)$

चरण 5