कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2} \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.5

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 7$ से गुणा करें.

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

चरण 1.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

चरण 1.1.4.2.2

$2 x$ में से $14 x$ घटाएं.

$4 \ln (x) x - 12 x$

चरण 1.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 x \ln (x) - 12 x$ है.

$4 x \ln (x) - 12 x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $12 x$ जोड़ें.

$4 x \ln (x) = 12 x$

चरण 2.3

$4 x \ln (x) = 12 x$ के प्रत्येक पद को $4 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4 x \ln (x) = 12 x$ के प्रत्येक पद को $4 x$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

चरण 2.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

चरण 2.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

चरण 2.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$12$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$12 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

चरण 2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.2.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

चरण 2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

चरण 2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

चरण 2.3.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

चरण 2.3.3.2.2

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = 3$

चरण 2.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

चरण 2.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = 3$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{3} = x$

चरण 2.6

समीकरण को $x = e^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{3}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 3.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = e^{3}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$e^{3}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

घातांक को ${(e^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.2

$3$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

चरण 4.1.2.1.6

घातांक को ${(e^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

चरण 4.1.2.1.6.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

चरण 4.1.2.2

$6 e^{6}$ में से $7 e^{6}$ घटाएं.

$- e^{6}$

चरण 4.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

चरण 4.2.2

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(e^{3}, - e^{6})$

चरण 5