कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{6 x - 4}$

चरण 1

$f (x) = e^{6 x - 4}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = e^{6 x - 4}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = e^{6 y - 4}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $e^{6 y - 4} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{6 y - 4} = x$

चरण 3.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{6 y - 4}) = \ln (x)$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$6 y - 4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{6 y - 4})$ का प्रसार करें.

$(6 y - 4) \ln (e) = \ln (x)$

चरण 3.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(6 y - 4) \cdot 1 = \ln (x)$

चरण 3.3.3

$6 y - 4$ को $1$ से गुणा करें.

$6 y - 4 = \ln (x)$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$6 y = \ln (x) + 4$

चरण 3.5

$6 y = \ln (x) + 4$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$6 y = \ln (x) + 4$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{4}{6}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{4}{6}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{4}{6}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$4$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2 (2)}{6}$

चरण 3.5.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

चरण 3.5.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}$ , $f (x) = e^{6 x - 4}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (e^{6 x - 4})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{\ln (e^{6 x - 4})}{6} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$6 x - 4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{6 x - 4})$ का प्रसार करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{(6 x - 4) \ln (e)}{6} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.2

$6 x - 4$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$(6 x - 4) \ln (e)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{2 ((3 x - 2) \ln (e))}{6} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{2 ((3 x - 2) \ln (e))}{2 (3)} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{2 ((3 x - 2) \ln (e))}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{(3 x - 2) \ln (e)}{3} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{(3 x - 2) \cdot 1}{3} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.3.4

$3 x - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{3 x - 2}{3} + \frac{2}{3}$

चरण 5.2.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

चरण 5.2.4.2

$3 x - 2 + 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{3 x + 0}{3}$

चरण 5.2.4.2.2

$3 x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

चरण 5.2.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

चरण 5.2.4.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (e^{6 x - 4}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{6 (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{6}$ को $\frac{1}{6} \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{6 (\frac{1}{6} \cdot \ln (x) + \frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3.1.2

$\frac{1}{6}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{6} \ln (x)$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{6 (\ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{6 \ln (x^{\frac{1}{6}}) + 6 (\frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3.3

$6$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $6 \ln (x^{\frac{1}{6}})$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{6}})}^{6}) + 6 (\frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.4.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{6}})}^{6}) + 3 (2) (\frac{2}{3}) - 4}$

चरण 5.3.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{6}})}^{6}) + 3 \cdot (2 (\frac{2}{3})) - 4}$

चरण 5.3.3.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{6}})}^{6}) + 2 \cdot 2 - 4}$

चरण 5.3.3.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{6}})}^{6}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.6.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.6.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{6} \cdot 6}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.6.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.6.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{6} \cdot 6}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.6.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x^{1}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.6.2

सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x) + 4 - 4}$

चरण 5.3.4

$\ln (x) + 4 - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x) + 0}$

चरण 5.3.4.2

$\ln (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = e^{\ln (x)}$

चरण 5.3.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}$ , $f (x) = e^{6 x - 4}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{6} + \frac{2}{3}$