कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $0.7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $0.7 x^{3}$ का व्युत्पन्न $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $0.7$ से गुणा करें.

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = {1.7}^{x}$ और $g (x) = - 1.8 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 1.8 x$ के रूप में सेट करें.

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

चरण 1.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $1.7$ है.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

चरण 1.1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 1.8 x$ से बदलें.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $- 1.8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1.8 x$ का व्युत्पन्न $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$- 1.8$ को $1$ से गुणा करें.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

चरण 1.1.3.5

$- 1.8$ को $\ln (1.7)$ से गुणा करें.

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

चरण 1.1.3.6

$- 0.95513085$ को ${1.7}^{- 1.8 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ है.

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ हैं.

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 3.36689747)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4.3668976$ से बदलें.

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4.3668976$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

चरण 5.2.1.2

$2.1$ को $19.06979464$ से गुणा करें.

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

चरण 5.2.1.3

$- 1.8$ को $- 4.3668976$ से गुणा करें.

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

चरण 5.2.1.4

$1.7$ को $7.86041568$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

चरण 5.2.1.5

$- 0.95513085$ को $64.77751969$ से गुणा करें.

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

चरण 5.2.2

$40.04656876$ में से $61.87100757$ घटाएं.

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 21.8244388$ है.

$- 21.8244388$

चरण 5.3

$x = - 4.3668976$ पर व्युत्पन्न $- 21.8244388$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 3.36689747)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 3.36689747)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.27903855$ से बदलें.

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2.27903855$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

चरण 6.2.1.2

$2.1$ को $5.19401671$ से गुणा करें.

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

चरण 6.2.1.3

$- 1.8$ को $- 2.27903855$ से गुणा करें.

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

चरण 6.2.1.4

$1.7$ को $4.10226939$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

चरण 6.2.1.5

$- 0.95513085$ को $8.81786724$ से गुणा करें.

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

चरण 6.2.2

$10.90743509$ में से $8.42221705$ घटाएं.

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2.48521804$ है.

$2.48521804$

चरण 6.3

$x = - 2.27903855$ पर व्युत्पन्न $2.48521804$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1.1911795, 0.52487955)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.33314995$ से बदलें.

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 0.33314995$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

चरण 7.2.1.2

$2.1$ को $0.11098888$ से गुणा करें.

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

चरण 7.2.1.3

$- 1.8$ को $- 0.33314995$ से गुणा करें.

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

चरण 7.2.1.4

$1.7$ को $0.59966991$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

चरण 7.2.1.5

$- 0.95513085$ को $1.37465363$ से गुणा करें.

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

चरण 7.2.2

$0.23307666$ में से $1.31297409$ घटाएं.

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.07989742$ है.

$- 1.07989742$

चरण 7.3

$x = - 0.33314995$ पर व्युत्पन्न $- 1.07989742$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 1.1911795, 0.52487955)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 1.19117954, 0.52487955)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0.52487955, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.5248796$ से बदलें.

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$1.5248796$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

चरण 8.2.1.2

$2.1$ को $2.32525779$ से गुणा करें.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

चरण 8.2.1.3

$- 1.8$ को $1.5248796$ से गुणा करें.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

चरण 8.2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

चरण 8.2.1.5

$1.7$ को $2.74478328$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

चरण 8.2.1.6

$1$ को $4.29074145$ से विभाजित करें.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

चरण 8.2.1.7

$- 0.95513085$ को $0.23305995$ से गुणा करें.

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

चरण 8.2.2

$4.88304136$ में से $0.22260275$ घटाएं.

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $4.66043861$ है.

$4.66043861$

चरण 8.3

$x = 1.5248796$ पर व्युत्पन्न $4.66043861$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0.52487955, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0.52487955, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

चरण 10