कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ और $g (x) = x^{2} - 16$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 7 x + 12$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $12$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $12$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.7

$2 x - 7$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.9

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2.11.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.2.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.2.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.3

$- 7$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.4

$2$ को $- 16$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.5

$- 16$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.5

$- 7$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.6

$- 2$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.2

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.2.2

$- 7 x^{2} - 32 x + 112$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.3

$- 7 x^{2}$ और $14 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.4

$- 32 x$ में से $24 x$ घटाएं.

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$7 x^{2} - 56 x + 112$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1.1

$7 x^{2}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.2

$- 56 x$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.3

$112$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.4

$7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.5

$7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.2.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

चरण 1.1.3.4.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 4$ है.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.3

उत्पाद नियम को $(x + 4) (x - 4)$ पर लागू करें.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

${(x - 4)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ है.

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$7 = 0$

चरण 2.3

$7 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ है.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 5$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

चरण 6.2.2

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (- 5) = 7$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $7$ है.

$7$

चरण 6.3

$x = - 5$ पर व्युत्पन्न $7$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 3$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

चरण 7.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

चरण 7.2.2

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (- 3) = 7$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $7$ है.

$7$

चरण 7.3

$x = - 3$ पर व्युत्पन्न $7$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 4, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

चरण 9