कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(3 x - 7)}^{2}$ को $(3 x - 7) (3 x - 7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

चरण 1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 x - 7) (3 x - 7)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

चरण 1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

चरण 1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.4

$- 7$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.5

$3$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

चरण 1.1.3.1.6

$- 7$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

चरण 1.1.3.2

$- 21 x$ में से $21 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

चरण 1.1.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{2} - 42 x + 49$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ है.

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.5

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.7

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.8

चूंकि $- 42$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 42 x$ का व्युत्पन्न $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.10

$- 42$ को $1$ से गुणा करें.

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

चरण 1.1.11

चूंकि $x$ के संबंध में $49$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $49$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$18 x - 42 + 0$

चरण 1.1.12

$18 x - 42$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 18 x - 42$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $18 x - 42$ है.

$18 x - 42$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $18 x - 42 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$18 x - 42 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $42$ जोड़ें.

$18 x = 42$

चरण 2.3

$18 x = 42$ के प्रत्येक पद को $18$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$18 x = 42$ के प्रत्येक पद को $18$ से विभाजित करें.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$18$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{42}{18}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$42$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$42$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 (7)}{18}$

चरण 2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.2.1

$18$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

चरण 2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

चरण 2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{7}{3}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{7}{3}$ हैं.

$\frac{7}{3}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 18 x - 42$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{7}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{4}{3}$ से बदलें.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

चरण 5.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

चरण 5.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

चरण 5.2.1.2

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

चरण 5.2.2

$24$ में से $42$ घटाएं.

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 18$ है.

$- 18$

चरण 5.3

$x = \frac{4}{3}$ पर व्युत्पन्न $- 18$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{7}{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{7}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{7}{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{10}{3}$ से बदलें.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

चरण 6.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

चरण 6.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

चरण 6.2.1.2

$6$ को $10$ से गुणा करें.

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

चरण 6.2.2

$60$ में से $42$ घटाएं.

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $18$ है.

$18$

चरण 6.3

$x = \frac{10}{3}$ पर व्युत्पन्न $18$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{7}{3}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{7}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{7}{3}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{7}{3})$

चरण 8