कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{- x} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 1.1.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 1.1.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 1.1.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

चरण 1.1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

चरण 1.1.5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

चरण 1.1.5.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

चरण 1.1.5.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 1.1.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 1.1.6.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

चरण 1.1.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ है.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

चरण 2.2

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ में से $2 e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$- 2 e^{- x} \sin (x)$ में से $2 e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 2 e^{- x} \cos (x)$ में से $2 e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.1.3

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ में से $2 e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ को $- \sin (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.3

$- 1 \cos (x)$ को $- \cos (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

चरण 2.4

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{- x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$- \sin (x) - \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- \sin (x) - \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.2

अलग-अलग भिन्न

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.5

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.5.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.6

अलग-अलग भिन्न

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 2.5.2.8

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

चरण 2.5.2.9

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$- \tan (x) - 1 = 0$

चरण 2.5.2.10

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- \tan (x) = 1$

चरण 2.5.2.11

$- \tan (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.1

$- \tan (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

चरण 2.5.2.11.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.11.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = - 1$

चरण 2.5.2.12

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (- 1)$

चरण 2.5.2.13

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$x = - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.14

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - \frac{π}{4} - π$

चरण 2.5.2.15

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.15.1

$2 π$ को $- \frac{π}{4} - π$ में जोड़ें.

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

चरण 2.5.2.15.2

$\frac{3 π}{4}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{4} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.16

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.16.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 2.5.2.16.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 2.5.2.16.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 2.5.2.16.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 2.5.2.17

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.17.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $π$ को $- \frac{π}{4}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{4} + π$

चरण 2.5.2.17.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.17.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.17.3.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 2.5.2.17.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 2.5.2.17.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.17.4.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

चरण 2.5.2.17.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.17.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 2.5.2.18

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{3 π}{4} + π n$ हैं.

$\frac{3 π}{4} + π n$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.2.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ है.

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

चरण 5.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ है.

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

चरण 6.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

चरण 8