कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 {(x^{2} - 75)}^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 {(x^{2} - 75)}^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 75$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 75$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 75$ से बदलें.

$3 (2 (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 ((x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

चरण 1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 75$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ है.

$6 (x^{2} - 75) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 (x^{2} - 75) (2 x + \frac{d}{d x} [- 75])$

चरण 1.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 75$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 75$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 (x^{2} - 75) (2 x + 0)$

चरण 1.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$6 (x^{2} - 75) (2 x)$

चरण 1.1.3.5.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$12 (x^{2} - 75) x$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(12 x^{2} + 12 \cdot - 75) x$

चरण 1.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$12 x^{2} x + 12 \cdot - 75 x$

चरण 1.1.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 (x^{1} x^{2}) + 12 \cdot - 75 x$

चरण 1.1.4.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$12 x^{1 + 2} + 12 \cdot - 75 x$

चरण 1.1.4.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$12 x^{3} + 12 \cdot - 75 x$

चरण 1.1.4.3.4

$12$ को $- 75$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 900 x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{3} - 900 x$ है.

$12 x^{3} - 900 x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{3} - 900 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{3} - 900 x = 0$

चरण 2.2

$12 x^{3} - 900 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{3}$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x^{2}) - 900 x = 0$

चरण 2.2.2

$- 900 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 75) = 0$

चरण 2.2.3

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 75)$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x^{2} - 75) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x^{2} - 75$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x^{2} - 75$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 75 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $x^{2} - 75 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $75$ जोड़ें.

$x^{2} = 75$

चरण 2.5.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{75}$

चरण 2.5.2.3

$\pm \sqrt{75}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

$75$ को $5^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.1

$75$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

चरण 2.5.2.3.1.2

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

चरण 2.5.2.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

चरण 2.5.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 5 \sqrt{3}$

चरण 2.5.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 5 \sqrt{3}$

चरण 2.5.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 x (x^{2} - 75) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$ हैं.

$0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 9.6602545$ से बदलें.

$f' (- 9.6602545) = 12 {(- 9.6602545)}^{3} - 900 \cdot - 9.6602545$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 9.6602545$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 9.6602545) = 12 \cdot - 901.49994433 - 900 \cdot - 9.6602545$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $- 901.49994433$ से गुणा करें.

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 - 900 \cdot - 9.6602545$

चरण 5.2.1.3

$- 900$ को $- 9.6602545$ से गुणा करें.

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 + 8694.22905$

चरण 5.2.2

$- 10817.99933205$ और $8694.22905$ जोड़ें.

$f' (- 9.6602545) = - 2123.77028205$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 2123.77028205$ है.

$- 2123.77028205$

चरण 5.3

$x = - 9.6602545$ पर व्युत्पन्न $- 2123.77028205$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 8.6602545, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4.33012725$ से बदलें.

$f' (- 4.33012725) = 12 {(- 4.33012725)}^{3} - 900 \cdot - 4.33012725$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 4.33012725$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4.33012725) = 12 \cdot - 81.1898946 - 900 \cdot - 4.33012725$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $- 81.1898946$ से गुणा करें.

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 - 900 \cdot - 4.33012725$

चरण 6.2.1.3

$- 900$ को $- 4.33012725$ से गुणा करें.

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 + 3897.114525$

चरण 6.2.2

$- 974.27873523$ और $3897.114525$ जोड़ें.

$f' (- 4.33012725) = 2922.83578976$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2922.83578976$ है.

$2922.83578976$

चरण 6.3

$x = - 4.33012725$ पर व्युत्पन्न $2922.83578976$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 8.6602545, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 5 \sqrt{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.33012725$ से बदलें.

$f' (4.33012725) = 12 {(4.33012725)}^{3} - 900 \cdot 4.33012725$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4.33012725$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4.33012725) = 12 \cdot 81.1898946 - 900 \cdot 4.33012725$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $81.1898946$ से गुणा करें.

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 900 \cdot 4.33012725$

चरण 7.2.1.3

$- 900$ को $4.33012725$ से गुणा करें.

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 3897.114525$

चरण 7.2.2

$974.27873523$ में से $3897.114525$ घटाएं.

$f' (4.33012725) = - 2922.83578976$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 2922.83578976$ है.

$- 2922.83578976$

चरण 7.3

$x = 4.33012725$ पर व्युत्पन्न $- 2922.83578976$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 5 \sqrt{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 5 \sqrt{3})$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(5 \sqrt{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $9.6602545$ से बदलें.

$f' (9.6602545) = 12 {(9.6602545)}^{3} - 900 \cdot 9.6602545$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$9.6602545$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (9.6602545) = 12 \cdot 901.49994433 - 900 \cdot 9.6602545$

चरण 8.2.1.2

$12$ को $901.49994433$ से गुणा करें.

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 900 \cdot 9.6602545$

चरण 8.2.1.3

$- 900$ को $9.6602545$ से गुणा करें.

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 8694.22905$

चरण 8.2.2

$10817.99933205$ में से $8694.22905$ घटाएं.

$f' (9.6602545) = 2123.77028205$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $2123.77028205$ है.

$2123.77028205$

चरण 8.3

$x = 9.6602545$ पर व्युत्पन्न $2123.77028205$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(5 \sqrt{3}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(5 \sqrt{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 5 \sqrt{3}, 0), (5 \sqrt{3}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 5 \sqrt{3}), (0, 5 \sqrt{3})$

चरण 10